计算题:某家庭准备以抵押贷款方式购买一套住房。该家庭月总收入16000元，最多能以月收入的30%支付住房贷款的月还款额。年贷款利率为12%，最长贷款期限20年，最低首付款为房价的30%，若采用按月等额偿还方式， 问： (1)该家庭能购买住房的最高总价是多少?若第五年末，该家庭月收入突增为18000元，第5年末银行贷款利率上调为15%，为保持原月偿还不变，则： (2)该家庭需在第6年初一次性提前偿还贷款多少元? (3)如果不提前偿还贷款，则需将贷款期限延长多少年?
正确答案:
(1)计算该家庭购买住房的最高总价
月还款额：A=16000×30%=4800(元)(0.5分)
最高贷款额：P=A/i[1-1/(1+i)n]=4800/(1%)[1-1/(1+1%)240]=435933.20(元)=43.59(万元)
(本步计算中，i取1%，n取240,给0.5分)
购买住房的最高总价：43.59/70%=62.27(万元)(0.5分)
(2)计算第6年初一次性提前偿还款
解法一：
第5年末尚余贷款本金：
P’=A/i[1-1/(1+i)n']=4800/(1%)[1-1/(1+1%)180]=399943.99(元)=39.99万元
(本步计算中，i取1%，n′取180，给0.5分)
调息后的月还款额：
A’=P’[〖i'(1+i')〗n'/(〖(1+i')〗n'-1)]=399943.99×〖1.25%(1+1.25%)〗180/(〖(1+1.25%)〗180-1)=5597.56(1分)
(本步计算中，i′取1.25%，n′取180，给0.5分)
调息后每月增加的还款额：5597.56-4800=797.56(元)(0.5分)
提前还款额：
P”=797.56/(1.25%)[1-1/(1+1.25%)180]=56985.38(元)=5.70(万元)(1分)
解法二：
设提前还款额为P″，则有
A/i'[1-1/〖(1+i')〗n']+p"=p'(1分)
第5年未尚余贷款本金：
P’=A/i[1-1/(1+i)n']=4800/(1%)[1-1/(1+1%)180]=399943.99(元)=39.99万元(1分)
P”=P’-A/i'[1-1/(1+i')n']=399943.99-4800/(1.25%)[1-1/(1+1.25%)180](1分)=56985.70(元)=5.7(万元)(0.5分)
(3)贷款延长期的计算
设从第5年末开始的还款期为X月，则有
P’=A/i'[1-1/(1+i')x](0.5分)
399943.99=5400/1.25%[1-1/(1+1.25%)x](0.5分)
x=209.35(月)(0.5分)
延长期：209.35-180=19.35(月)≈1.6(年)(0.5分)
月还款额：A=16000×30%=4800(元)(0.5分)
最高贷款额：P=A/i[1-1/(1+i)n]=4800/(1%)[1-1/(1+1%)240]=435933.20(元)=43.59(万元)
(本步计算中，i取1%，n取240,给0.5分)
购买住房的最高总价：43.59/70%=62.27(万元)(0.5分)
(2)计算第6年初一次性提前偿还款
解法一：
第5年末尚余贷款本金：
P’=A/i[1-1/(1+i)n']=4800/(1%)[1-1/(1+1%)180]=399943.99(元)=39.99万元
(本步计算中，i取1%，n′取180，给0.5分)
调息后的月还款额：
A’=P’[〖i'(1+i')〗n'/(〖(1+i')〗n'-1)]=399943.99×〖1.25%(1+1.25%)〗180/(〖(1+1.25%)〗180-1)=5597.56(1分)
(本步计算中，i′取1.25%，n′取180，给0.5分)
调息后每月增加的还款额：5597.56-4800=797.56(元)(0.5分)
提前还款额：
P”=797.56/(1.25%)[1-1/(1+1.25%)180]=56985.38(元)=5.70(万元)(1分)
解法二：
设提前还款额为P″，则有
A/i'[1-1/〖(1+i')〗n']+p"=p'(1分)
第5年未尚余贷款本金：
P’=A/i[1-1/(1+i)n']=4800/(1%)[1-1/(1+1%)180]=399943.99(元)=39.99万元(1分)
P”=P’-A/i'[1-1/(1+i')n']=399943.99-4800/(1.25%)[1-1/(1+1.25%)180](1分)=56985.70(元)=5.7(万元)(0.5分)
(3)贷款延长期的计算
设从第5年末开始的还款期为X月，则有
P’=A/i'[1-1/(1+i')x](0.5分)
399943.99=5400/1.25%[1-1/(1+1.25%)x](0.5分)
x=209.35(月)(0.5分)
延长期：209.35-180=19.35(月)≈1.6(年)(0.5分)
答案解析:有
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