设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有ω（q）=ω₀−Aq²，求证：每支光学支的声子态密度为：

正确答案: 由ω（q）=ω₀−Aq²得到，q²=（ω₀−ω）/A，

负号表示对于光学支，ω是q的减函数。
当ω<ω₀时，三维晶格中，考虑到光学支，在q空间中，q到q+dq范围内的声子数为：

这里的此时dq为q空间中球壳的厚度。考虑到4πq²dq的物理意义为，q空间中，代表点所占据的体积，应该为正值，应该有：