甲是某市市委组织部部长。乙是甲的大学同班同学，一日乙将某建筑公司的经理丙介绍给甲，丙想承包本市旧城改造的一部分工程，请甲帮忙，甲答应了，丙当场送给甲现金10万元。甲与市建委主任丁联系，要丁把工程承包给不具备资质条件的丙。丙后来又送给甲10万元。丙不是国家工作人员，他送给甲现金的行为是否构成犯罪？如果构成，罪名是什么？